1 из 16

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

№ слайда 2

Немного истории Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов, убитых животных и поверженых врагов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр.

№ слайда 3

«число» древних людей Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появилось вместе с развитием письменности.

№ слайда 4

Системы счисления Система счисления - это совокупность правил для обозначения и наименования чисел. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

№ слайда 5

Позиционные системы счисления Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной. В числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков, а цифра 4 - количество единиц. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Достоинства позиционных систем счисления Простота выполнения арифметических операций. Ограниченное количество символов (цифр) для записи любых чисел. .

№ слайда 6

Непозиционные системы счисления Единичная система Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве. Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

№ слайда 7

Римская система Римская система знакома нам с первого класса. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно: сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида); разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры (назовём их группой второго вида) Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида). Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

№ слайда 8

Древнеегипетская десятичная система В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 100, 1000 и т. д. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз. Пример. Число 345 древние египтяне записывали так: В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

№ слайда 9

Обозначения цифр у древних египтян единицы десятки сотни тысячи десятки тысяч сотни тысяч миллионы

№ слайда 10

Вавилонская шестидесятеричная система Числа в вавилонской системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц лежачий клин - для обозначения десятков. Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево. Например: Число 32 записывали так:

№ слайда 13

Славянская система счисления Данная система счисления является алфавитной т.е. вместо цифр используются буквы алфавита. Данная система счисления применялась нашими предками и была достаточно сложной, т.к. использует в качестве цифр 27 букв.

№ слайда 14

Математики спорят с историками Учитывая, что в славянской системе счисления большие числа имели следующие названия: тьма 10000 ворон 10^ 48 легион 100000 колода 10^50 леодр 1000000 решим задачу о численности войск Батыя при походе на Русь. По летописным данным, монголов была «тьма тьмущая». Т.е 10 000 10 000 = 100 000 000 человек. На самом же деле у Батыя в подчинении было 11 военачальников-темников, у каждого из которых в подчинении была «тьма» воинов, всего 11 10 000= 110 000 , итого 110 тысяч человек. Поэтому 100 000 000 человек, о которых толкуют историки, не было и в помине!

№ слайда 15

Недостатки непозиционных систем счисления Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. Вплоть до конца средневековья не существовало никакой универсальной системы записи чисел. Только с развитием математики, физики, техники, торговли и экономики возникла потребность в единой универсальной системе счисления.

В презентации дана классификация систем счисления, рассматриваются правила перевода из из 10-й с.с. в любую позиционную с.с. и обратно, правила демонстрируются на примерах, предлагается выполнить задания. Материал рассчитан на учащихся 8-10 классов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Системы счисления Основные понятия Симонова Татьяна Николаевна МОУСОШ №8 г. Тулы 17.03.2007-30.03.2007

Информация о презентации Цель: изучение (повторение) материала по теме «Системы счисления» Аудитория: учащиеся 10 класса После просмотра учащиеся должны знать основные понятия по теме и уметь переводить числа из одной системы счисления в другую

Определение Система счисления – способ записи чисел символами некоторого алфавита и способ их обработки. Системы счисления делятся на непозиционные позиционные

Непозиционные с.с. Непозиционной называется такая с.с., у которой количественный эквивалент цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

Примеры непозиционных с.с. Единичная Древнеегипетская Римская Греческая Алфавитные

Примеры позиционных с.с. Десятичная Машинные: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная Другие (с.с., аналогичные вышеуказанным, но с другим основанием)

Основные понятия Алфавит Например: Римская с.с.: M,D,C,L,X,V,I Десятичная с.с.: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двоичная: 0,1 Правила записи и вычислений

Преимущества позиционных с.с. Простота выполнения арифметических операций Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа Использование в ЭВМ (машинные с.с.)

Основные понятия для позиционных с.с. Разряд – позиция цифры в числе Основание – количество цифр в алфавите 4567,056 10 3 2 1 0 -1 -2 -3 основание Разряды Число записано в десятичной с.с.

Развернутая форма записи числа в позиционной с.с. Развернутой формой или степенным рядом называют произведение каждой цифры числа на основание системы счисления в степени, соответствующей разряду этой цифры. 126,57 10 =1* 10 2 +2* 10 1 +6* 10 0 +5* 10 -1 +7* 10 -2 3256,543 8 =3* 8 3 +2* 8 2 +5* 8 1 +6* 8 0 +5* 8 -1 +4* 8 -2 +3* 8 -3 Запишите развернутую форму чисел: 221,112 3 , 110011,1101 2

Перевод чисел из любой позиционной с.с. В десятичную Записать развернутую форму числа Вычислить значение арифметического выражения Задание: Переведите числа с предыдущего слайда в десятичную с.с.

Перевод целых чисел из десятичной в любую позиционную с.с. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой с.с., привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить число в новой с.с., записывая его, начиная с последнего остатка

Переведем число 25 10 в 2-ю с.с. 25 2 24 12 1 2 6 12 2 3 6 2 1 2 2 0 0 0 0 1 1 Ответ: 25 10 =11001 2

Перевод дробных чисел из десятичной в любую позиционную с.с. Последовательно умножаем данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой с.с. до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой с.с., привести в соответствие с алфавитом новой с.с. Составить дробную часть числа в новой с.с., начиная с целой части первого произведения.

Переведем 0,455 10 в 5-ю с.с. 0,455 5 2,275 5 1,375 5 1, 875 Ответ: 0,455 10 =0,211 5 (с точностью до трех знаков после запятой)

Задания 1. Воспользовавшись раздаточным материалом, ознакомьтесь с примерами перевода чисел. 2. Выполните самостоятельно задания, отмеченные *.

«СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»

Мы почитаем всех нулями, А единицами себя. А.С. Пушкин

Арифметика каменного века

Единичная

Древнегреческая нумерация

В V веке до н.э. появилась алфавитная нумерация.

  

500 2 30

 

500 30 2

  

2 500 30

Славянская кириллическая нумерация

Римская система счисления

DC-XV=DLXXXV

Египетская нумерация

1 10 100 1000

10000 100000 1000000 10000000

5000 лет тому назад

Позиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления

В позиционной

позиционной системой

Какая система счисления используется повсеместно в наше время?

Сколько цифр в десятичной системе?

Какие это цифры?

Как вы думаете, почему люди используют десятичную систему, а не семеричную?

Десятичная Десять 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Десять пальцев на руках

Двенацетиричная (количество месяцев в году, количество часов, количество знаков зодиака);
Семеричная (семь дней в неделе, обилие пословиц и поговорок с числом семь);
Шестидесятеричная система счисления (временная мера)

В непозиционной

непозиционной системой

I (1)
V (5)
X (10)
L (50)
C (100)
D (500)
M (1000)

Значение цифры не зависит от ее местоположения в числе

XXX = 30

MCMXCVIII = 1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1=1998

Двоичная система счисления (2-ая с/с)

Восьмеричная система счисления (8-ая с/с)

Десятичная система счисления (10-ая с/с)

Шестнадцатеричная система счисления (16-ая с/с)

Двоичная – 0, 1 (основание с.с. – 2)

Десятичная – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (основание с.с. – 10)

Восьмеричная – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (основание с.с. – 8)

Шестнадцатеричная – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (основание с.с. – 16)

Связь систем счисления

00 10

00 11

0 100

0 101

0 110

0 111

Правила перевода

Из десятичной системы счисления

в позиционные системы счисления:

Разделить десятичное число на основание новой системы счисления. Получится частное и остаток.
Остаток от деления переводят в новую систему счисления – это будет младший разряд нового числа.
Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим основания новой системы счисления.
Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью в новой системы счисления.

Представим число 67 записанное в десятичной системе счисления в позиционных системах счисления:

67 10 = А 2

67 10 = А 8

67 10 = А 16

Представим число 67 10

в двоичной системе счисления:

Ответ: 67 10 = 1000011 2

Представим число 67 10

Ответ: 67 10 = 103 8

Представим число 67 10

Ответ: 67 10 = 43 16

Представим число 123 10

в шестнадцатеричной системе счисления:

Ответ: 123 10 = 7В 16

Представим число 42 записанное в десятичной системе счисления в позиционных системах счисления:

двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

42 10 = А 2

42 10 = А 8

42 10 = А 16

Правила перевода Из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления:

Представим число 1000011 2

Ответ: 1000011 2 =67 10

Представим число 103 8

в десятичной системе счисления:

Ответ: 103 8 =67 10

Представим число 7В 16

в десятичной системе счисления:

Ответ: 7В 16 = 123 10

Правила перевода Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления и обратно:

Представим число 1110001101 2 в шестнадцатеричной системе счисления:

0011 1000 1101 2  38 D 16

Представим число 368 16 в двоичной

системе счисления: 368 16 → 0011 0110 1000 2

Правила перевода Из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно:

Представим число 1011000110 2 в восьмеричной системе счисления:

001 011 000 110 2  1306 8

Представим число 361 4 в двоичной

системе счисления: 3614 8 → 011 110 001 100 2

Арифметические операции

в системах счисления

Мысленно переложить одну спичку так, чтобы получилось верное равенство

а) VII – V = XI

б) IX – V = VI

в) VIII – III = X

Арифметика с двоичными числами

Сложение 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 +1 в старший разряд

3. Умножение

2. Вычитание 0 - 0=0 0 - 1= 1 - 1 из старщего разряда 1 - 0=1 1 - 1=0

При сложении 2-ых чисел в каждом разряде в соответствии с таблицей сложения производится сложение 2-ух цифр слагаемых или 2-ух этих цифр и 1, если есть перенос из младшего разряда.

В результате получается цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, переноса в старший разряд.

________________

При вычитании 2-ых чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта 1 равна 2 единицам данного разряда.

Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого.

________________

Умножение 2-ых многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования.

В соответствии с таблицей двоичного умножения каждое частичное произведение равно 0, если в соответствующем разряде множимого стоит 0.

Т.о. операция умножения сводится к операциям сдвига и сложения.

1 из 31

Презентация - Системы счисления

Текст этой презентации

Тема «Системы счисления»

Введение
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах.

Система счисления – это определённый способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над ними. Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.
История систем счисления
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные

Древние системы счисления:
Единичная система Древнегреческая нумерация Славянская нумерация Римская нумерация

Позиционные и непозиционные системы счисления
Непозиционные системы Позиционные системы
От положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Основание – количество используемых цифр. Позиция – место каждой цифры.

Запись числа в позиционной системе счисления
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена: Хs=An · Sn-1 + An-1 · Sn-2 + An-2 · Sn-3 +...+ A2 · S1 + A1 · S0 где S - основание системы счисления, А – цифры числа, записанного в данной системе счисления, n - количество разрядов числа. Так, например число 629310запишется в форме многочлена следующим образом: 629310=6·103 + 2·102 + 9·101 + 3·100

Примеры позиционных систем счисления:
Двоичная Система счисления с основанием 2, используются два символа - 0 и 1.
Восьмеричная Система счисления с основанием 8, используются цифры от 0 до 7.
Десятичная Система с основанием 10, наиболее распространённая система счисления в мире.
Двенадцатеричная Система с основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.
Шестнадцатеричная С основанием 16, используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15.
Шестидесятеричная Система с основанием 60, используется в измерении углов и, в частности, долготы и широты.

История двоичной системы счисления
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII - XIX вв.). Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В. Лейбниц. Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике в сравнении с другими системами и придавал ей определенный философский смысл. В 1936 - 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система счисления
Двоичная система счисления (бинарная система счисления, binary) - позиционная система счисления с основанием 2. Неудобством этой системы счисления является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений. Главное достоинство двоичной системы - простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления
Сложение Вычитание Умножение Деление
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10. 0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 1 - 1 = 0; 10 - 1 = 1. 0 · 1 = 0; 1 · 1 = 1. 0 / 1 = 0; 1 / 1 = 1.

Двоичное кодирование в компьютере
В конце ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обраба- тываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. В современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также графическую и звуковую информацию. Количество информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую
8
16

Заключение
Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел. Нужно признать важность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в разных областях используются разные системы счисления, со своими особенностями и характерными свойствами.

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
1 001 1 1
2 010 2 2
3 011 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Перевод двоичного числа в десятичное
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики: Х10= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20
Перевод чисел

Перевод восьмеричного числа в десятичное
Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики: Х10= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80
Перевод чисел

Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики: Х10= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в двоичную систему
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления: 2210=101102
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в восьмеричную систему
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления: 57110=10738
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему
Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 746710=1D2B16
Перевод чисел

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей: Пример: Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 0112=1138
8-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
Перевод чисел

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр). Двоично-шестнадцатеричная таблица: Пример: Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 0010 1110 00112=2E316
16-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
16-ная 8 9 A B C D E F
Перевод чисел

Перевод восьмеричного числа в двоичное
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления: 5318=101 011 0012
2-ная 000 001 010 011 100 101 110 111
8-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
Перевод чисел

Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой. Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления: ЕЕ816=1110111010002
2-ная 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
2-ная 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16-ная 8 9 A B C D E F
Перевод чисел

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно
При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему. Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления: FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528 Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16
Перевод чисел

Единичная система
В древние времена, когда появилась потребность в записи чисел, количество предметов, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.). В такой системе применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.
Древние системы счисления

Древнегреческая нумерация

Аттическая нумерация
Ионийская система
В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена ионийской системой.
В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация.
Древние системы счисления

Славянская нумерация
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: («титло»). Для обозначения тысяч перед числом (слева внизу) ставился особый знак.
Z
Древние системы счисления

Римская нумерация
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.
I - 1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 М - 1000
Запись цифр в римской нумерации:
Древние системы счисления

Ионийская система
Обозначение чисел в ионийской системе нумерации

Обозначение чисел в древнеславянской системе нумерации
Славянская нумерация

Код для вставки видеоплеера презентации на свой сайт:

‹‹ ‹

1 из 24

› ››

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

«Всё есть число» ,- говорили мудрецы, подчёркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов(словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами. Система счисления – это совокупность приёмов и правил для обозначения и именования чисел. Люди научились считать очень давно, ещё в каменном веке. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или больше. Через некоторое время появилось слово для обозначения двух предметов…и…в настоящий момент существует более 30 различных систем счисления. Некоторые из них уже утратили своё первоначальное значение и возможность использования в современном мире. Но, несмотря на это, они составляют значимую часть истории возникновения систем счисления.

№ слайда 3

Описание слайда:

Алфавит системы счисления. Алфавит составляет базу системы счисления. Символы алфавита называют цифрами. Системы счисления различаются алфавитом и правилами образования из базовых цифр остальных чисел. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать: возможность представления любого числа в pассматpиваемом диапазоне величин, единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина), простоту опеpиpования числами.

№ слайда 4

Описание слайда:

Основные виды систем счисления. Необходимые определения. Позиционная система счисления - система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр. Непозиционная система счисления - система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения. Универсальная система счисления - система счисления, которая позволяет записать любое вещественное число (конечной или бесконечной последовательностью цифр). Неуниверсальная система счисления - система счисления, которая позволяет записать лишь относительно небольшие числа, иногда только целые (либо наоборот, только меньшие единицы). Основная система счисления - позиционная система счисления, в которой вес каждой цифры изменяется в одно и то же число раз при ее переносе из любого разряда в соседний с ним. Неосновная система счисления - позиционная система счисления, в которой соотношение весов соседних разрядов может меняться. Двойная система счисления - неосновная позиционная система счисления, в которой число фактически представлено в системе счисления с большим основанием, но вместо соответствующего набора цифр используется их представление наборами знаков в системе счисления с меньшим основанием.

№ слайда 5

Описание слайда:

Основные виды систем счисления. Необходимые определения.(продолжение…) Традиционная система счисления - система счисления, в которой запись числа состоит из двух частей - целой и дробной. Количество цифр перед разделяющей эти части запятой (точкой) заранее не известно и может быть сколь угодно большим. Фактически запись числа образует две последовательности цифр, разбегающиеся влево и вправо от запятой. Информационная система счисления - система счисления, в которой запись числа (в отличие от традиционной) состоит из единственной последовательности цифр. При этом каждая очередная цифра (бит) уточняет значение числа (его положение на оси). Пусть несколько первых цифр указывают на то, что интересующее нас число t содержится в некотором подмножестве U числовой оси, которое, в свою очередь, разбито на несколько непересекающихся подмножеств V1 , … , Vk . Тогда выбор одного из k возможных значений очередной цифры указывает на одно из этих подмножеств. Интервальная система счисления - информационная система счисления, в которой все подмножества числовой оси, определенные несколькими первыми цифрами записи любого числа, являются интервалами. Неинтервальная система счисления - информационная система счисления, в которой среди подмножеств числовой оси, определенных несколькими первыми цифрами записи какого-либо числа, не все являются интервалами. Итерационная система счисления - интервальная система счисления, в которой в качестве точек разбиения (границ интервалов) выбираются корни последовательных итераций некоторой монотонной функции. Башенная система счисления - итерационная система счисления, в которой каждый очередной бит в записи числа имеет смысл знака логарифма от абсолютной величины мантиссы, полученной на предыдущем шаге.

№ слайда 6

Описание слайда:

Непозиционные (неуниверсальные) системы счисления. Непозиционная система счисления - система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения. Единичная система счисления; Древнеегипетская десятичная система счисления; Римская система счисления; Славянские системы счисления(глаголическая и кириллическая).

№ слайда 7

Описание слайда:

Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на единственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, каково само число. Использовалась нецивилизованными племенами, потребности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Чисто формально единичную систему счисления можно отнести к числу основных (с основанием 1). Но, в отличие от остальных основных систем счисления, считать ее позиционной можно лишь с очень сильной натяжкой, а универсальной она вообще не является (в ней нельзя представить ноль, дроби и отрицательные числа). 1 I 2 II 3 III 4 IIII 5 IIIII и т.д. Единичная система счисления.

№ слайда 8

Описание слайда:

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки - иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной. 1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем ряду должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше. 10. Такими путами египтяне связывали коров Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам. 100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. 1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка. 10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. 100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик. 1 000 000. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф 10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца Древнеегипетская десятичная система счисления.

№ слайда 9 col-6 col-last"> Описание слайда:

Римская система счисления. С помощью семи цифр – I=1 , V=5 , X=10 , L=50 , C=100 , D=500 , M=1000 – можно весьма успешно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч. Продолжает ограниченно использоваться для указания порядковых числительных (часов, столетий, номеров съездов или конференций и т.п.). Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.

№ слайда 10

Описание слайда:

Славянская глаголическая система счисления. Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в. Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение: Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

№ слайда 11

Описание слайда:

Славянская кириллическая система счисления. Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком: Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков. Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение. Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке. Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления. Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:

№ слайда 12

Описание слайда:

Системы счисления в современных высоких технологиях. Позиционные системы счисления. Позиционная система счисления - система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр. Неуниверсальные системы счисления (Форматы представления чисел в микрокалькуляторах и компьютерах) Запись в формате с фиксированной запятой; Нормализованная (инженерная, научная) форма записи чисел; Байтовая система счисления. «Машинные» системы счисления. Двоичная система счисления; Восьмеричная система счисления; Шестнадцатеричная система счисления.

№ слайда 13

Описание слайда:

Запись в формате с фиксированной запятой. Запись в формате с фиксированной запятой использовалась в первых электронно-вычислительных машинах (в частности, в советских «Урал-1»). Она позволяет представить числа, абсолютная величина которых не превосходит единицы, и притом лишь те из них, которые имеют данное фиксированное число двоичных или двоично-десятичных разрядов.

№ слайда 14

Описание слайда:

Нормализованная (инженерная, научная) форма записи чисел. Нормализованная (инженерная, научная) форма записи чисел используется сейчас большинством микрокалькуляторов, компьютеров и иных вычислительных устройств. Запись числа состоит из двух частей – мантиссы и порядка, каждая из которых имеет свой собственный знак и строго определенное число десятичных (двоичных или иных) разрядов. Диапазон для мантиссы определен одним из двух правил. Чаще всего, она меньше единицы, но больше единицы следующего младшего разряда соответствующей системы счисления (как правило, десятичной или двоичной). Противоположное правило: мантисса больше единицы, но меньше единицы следующего старшего разряда (одновременно может действовать только одно из этих двух правил, но никак не оба сразу).

№ слайда 15

Описание слайда:

Байтовая система счисления. Содержимое файла в известном смысле не зависит от его типа и предназначения. С точки зрения внутренней структуры файл представляет собой конечную последовательность байтов. Каждый байт – это 8 битов, которые в двоичной системе счисления можно прочитать как целое число от 0 до 255. Каждое такое число (код) можно рассматривать как цифру в системе счисления с основанием 256. Так как файл представляет собой единую последовательность байтов (и в отличие от традиционной записи числа не разделен на целую и дробную части), то возможны два варианта прочтения файла, как числа. Во-первых, можно считать файл целым числом. Во-вторых, можно, напротив, считать целую часть нулевой (как и в записи в формате с фиксированной запятой). Наряду с байтом для измерения количества информации используются более крупные производные единицы: 1 Кбайт = 2 байт = 1024 байт (килобайт) 1 Мбайт = 2 байт = 1024 Кбайт (мегабайт) 1 Гбайт = 2 байт = 1024 Мбайт (гигабайт) 1 Тбайт = 2 байт = 1024 Гбайт (терабайт) 10 20 30 40

№ слайда 16

Описание слайда:

«Машинные» системы счисления. Двоичная система счисления. В конце XX века, века компьютеризации, Человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда, как на счетах при помощи костяшек. Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины чрезвычайно сложна. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено - не намагничено, высокое напряжение - низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении. Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин. Преимущества двоичной системы счисления: Простота совершаемых операций Возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера. Недостаток двоичной системы счисления: Быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число

№ слайда 17

Описание слайда:

Восьмеричная система счисления. Восьмеричная система счисления. Использует восемь цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования. Также используется для записи кодов чисел и машинных команд.

№ слайда 18

Описание слайда:

Шестнадцатеричная система счисления. Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 . Также использует символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам. Также шестнадцатеричную систему используют для записи адреса команд.

№ слайда 19

Описание слайда:

Более сложные позиционные системы счисления. Дата – время; Вавилонская клинописная (десятиричная/ шестидесятеричная) система счисления; Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет; Древнекитайская десятеричная система счисления;

№ слайда 20

Описание слайда:

Дата – время. Традиционный способ представления моментов и больших промежутков времени сочетает использование нескольких разных единиц измерения. При переходе от тысячелетий к векам, от них к десятилетиям, а затем к годам, вес разряда в записи даты изменяется в 10 раз. Год состоит из 12 месяцев, месяц – из 4 недель, неделя – из 7 суток. Сутки состоят из 24 часов, час – из 60 минут, а минута – из 60 секунд. Более мелкие интервалы времени, чаще всего, измеряют десятыми, сотыми, тысячными и т.д. долями секунды (хотя известно и об употреблении шестидесятеричного деления секунды и ее последующих долей). Таким образом, мы имеем здесь дело с системой счисления, сочетающей в себе сразу шесть различных оснований: 4, 7, 10, 12, 24 и 60.

№ слайда 21

Описание слайда:

Вавилонская клинописная (десятеричная/шестидесятеричная) система счисления. В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например -3 -20 -32 Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними: - так записывается число 302, то есть 5*60+2. - а это 1*60*60+2*60+5 = 3725. Но представление не которых чисел в этой системе будет одинаковым, например, число 302, может быть и равно и 5*60*60 + 2 = 18002. Так как нет значка для обозначения нуля. Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак - наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля. - это запись числа 7203 (2*60*60+3). Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3*60 записывалось так, а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3*60*60), и т. д. Считается, что десятичная система была у шумеров, а после того как их завоевали семиты, их система была приспособлена под шестидесятеричную систему семитов. Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.

№ слайда 22

Описание слайда:

Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или «долгий счет». Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять). Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху и называлось уиналу. Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21, это будет. Так же в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел:

№ слайда 23

Описание слайда:

Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или «долгий счет». (продолжение…) В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на третьей полке. Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип двадцатеричности нарушен! Все верно. Это и есть исключение. Дело в том, что у индейцев Майя 20 дней-кинов образовывали месяц или уинал. 18 месяцев-уиналов образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее: К"ин = 1 день. Виналь = 20 к"ин = 20 дней. Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года. К"атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет. Бак"тун = 20 к"атун = 144000 дней = около 400 лет. Пиктун = 20 бак"тун = 2880000 дней = около 8000 лет. Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет. К"инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет. Алавтун = 20 к"инчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет. Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.

№ слайда 24

Описание слайда:

Древнекитайская десятеричная система счисления. Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае. O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде. 10 100 1 000 10 000 - 1*1 000 = 1000; - 5*100 + 4*10 +8 = 548 Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.

Чтобы скачать материал, введите свой E-mail, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

Обтяжка